Caja de Euler

Red de Matemáticas

Un ortoedro o cuboide es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos. Los ortoedros son prismas rectangulares rectos, y también son llamados paralelepípedos rectangulares. Vulgarmente se los denomina cajas de zapatos o simplemente cajas. Las caras opuestas de un ortoedro son iguales entre sí:

Una caja de Euler (Euler Brick en inglés) es un cuboide que cumple que sus tres lados y las tres diagonales de sus caras son números enteros. La más pequeña conocida fue descubierta por Paul Halcke en 1719 y es la que cumple que las longitudes de sus lados son (240,117,44) y las longitudes de las diagonales de sus caras son (267,244,125). Otras soluciones, dadas aquí por las longitudes de sus lados, son: (275,252,240), (693,480,140), (720,132,85) y (792,231,160). Se conocen soluciones paramétricas que nos dan siempre cajas de Euler (del estilo a la que publicamos hace tiempo sobre las ternas pitagóricas), pero no las dan todas. Otra propiedad que cumplen es que si tenemos una caja de Euler de lados (a,b,c), el cuboide de lados (bc,ac,ab) también es una caja de Euler.

Un cuboide perfecto (también llamada caja perfecta) es una caja de Euler que cumple que la longitud de su diagonal espacial es también un número entero (D en la imagen):

Como hemos visto antes encontrar cajas de Euler es posible y además sencillo a partir de una dada. Pero el problema del cuboide perfecto es un problema no resuelto en Matemáticas. Es decir: nadie ha encontrado ningún cuboide perfecto ni ha conseguido demostrar que no existen. Lo máximo que se ha conseguido es encontrar alguna de las propiedades que deben cumplir las longitudes de sus lados o cuboides “semiperfectos”, es decir, cuboides que aún teniendo diagonal espacial de longitud entera no cumplen alguna de las propiedades de las cajas de Euler. Por ejemplo, (672,153,104) tiene lados y diagonal espacial enteras, pero la diagonal de una de sus caras no lo es.

Así que ya tenemos otro reto más: encontrar un cuboide perfecto o demostrar que no es posible encontrarlo.

Patricio Figueroa M.

Fuentes: