El concepto de infinito y los conjuntos infinitos han generado durante siglos, verdaderos dolores de cabeza a los matemáticos, creando grandes debates y conflictos teóricos de diversa índole, dando un espacio también a la creatividad, nuevas ideas, sueños, paradojas y fantasías.

Como padre y como profesor de matemáticas habitualmente me consultan por el concepto de infinito, esto porque más de alguna vez lo han escuchado mencionar. Recuerdo que en una oportunidad mi hija Catalina, cuando tenía 10 años de edad, leyendo el libro “Bajo la misma estrella” me hizo las siguiente consulta: ¿hay infinitos más grandes que otros?, luego me relato que en el libro cuando Hanzel viaja a París para conocer al autor Peter Van Houten, se produce un dialogo acerca de Zenón y la paradoja de la tortuga, la que encontró solución cuando George Cantor abordó la paradoja “infinitos más grandes que otros infinitos”.

A partir de lo afirmado por Cantor es válido hacerse preguntas tales como las siguientes:

Aparentemente el conjunto de los Enteros posee el doble de elementos que el conjunto de los números Pares. ¿Será así?

Comenzaré con un ejemplo muy sencillo de lógica, pensemos en el conjunto formado por los habitantes de Chile y el conjunto formado por los habitantes de Sudamérica, claramente todos son habitantes de Sudamérica, pero hay otros habitantes como por ejemplo los habitantes de Venezuela que no están en el conjunto de los chilenos, de manera que fácilmente podemos convencernos de que el conjunto de los habitantes de Sudamérica es más grande que el conjunto de los habitantes de Chile. El problema con los conjuntos infinitos, a diferencia de los conjuntos finitos es que nuestra intuición y lógica nos pueden jugar algunos trucos extraños.

El conjunto infinito más sencillo, es el conjunto de los números naturales y que consiste simplemente de los números 1,2,3,4, 5,…. este conjunto a diferencia de los habitantes de Sudamérica y de Chile, es un conjunto infinito que contiene el conjunto de los números pares como el 2,4,6, 8,… y que es infinito también, sin embargo, ambos tienen el mismo tamaño. ¿Cómo?

El siguiente cuento matemático resuelve este enigma. En un lugar imaginario, quien sabe dónde, el inmenso Hotel Aleph tiene una infinidad de habitaciones y se sienten muy orgullosos de garantizar por escrito el poder dar hospedaje a cualquier número de personas en cualquier momento. Las habitaciones de este hotel se encuentran numeradas desde la habitación uno, seguida de la dos, tres etc. Resulta que, en un verano, este hotel se encuentra completamente lleno, sin embargo, un congreso muy importante de médicos llega de pronto y sin previo aviso, solicitando varios millones de habitaciones.

El Gerente del Hotel sabiendo su situación se sintió algo agobiado, pero después de pensar un poco solucionó su problema de la siguiente manera, le pidió a cada huésped que se mudara a la habitación cuyo número fuera el doble del número de la habitación que ocupaba, así por ejemplo el huésped de la habitación uno se movería a la habitación dos, el de la dos a la cuatro, el de la tres a la seis, etc.  Así todas las habitaciones impares quedaron desocupadas dando amplio espacio para acomodar a todos los médicos del congreso y muchos más. Si meditamos este asunto, en realidad el gerente del hotel comprueba que a todo número natural se le puede asignar un número par y viceversa, a cada número par, si se le divide por dos, le podemos asignar un número natural.

Atte. Patricio Figueroa M.