Es interesante que en nuestras clases de matemáticas usemos distintas estrategias con el objetivo de llamar la atención de los estudiantes, plantearle situaciones que sean lúdicas, pero que tengan un potente sustento matemático que les ayude a desarrollar sus habilidades, así como fomentar su “pensamiento lateral”. Imagine en una clase de primero medio cuando se estudian los Números Racionales plantearles la siguiente situación:

“Una tortuga le ganó la carrera al mejor atleta de la Gracia antigua” ¿creen que esto sería posible?, si lo fue ¿cómo pudo ocurrir?, ¿Alguno de ustedes creer que podría perder una carrera con una tortuga?, ¿Quién me podría dar una explicación de esto?

Plantearlo de esta forma estaría bajo la Teoría de situaciones Didácticas de Guy Brousseau, los invito a buscar más información al respecto, ahora vamos a la paradoja.

Según la leyenda, Aquiles era un héroe de la Guerra de Troya, era invencible, para hacerlo más fuerte, su madre lo llevó a la laguna Estigia, morada de la gorgona Medusa (una diosa monstruosa), sumergiéndolo en sus aguas sujeto de cabeza, afirmándolo del talón. Dado que su talón fue lo único que no se mojó, éste era su único punto débil. De acá viene el refrán popular que dicen que el punto débil de una persona es “el Talón de Aquiles”.

Aquiles era famoso por sus grandes cualidades físicas, fue elegido por Zenón de Elea (490 a.C. – 430 a.C.) como protagonista de su famosa Paradoja (he adaptado el enunciado con el objetivo que sea usado con fines pedagógicos y además, simplificar su solución).

Aquiles era casi tan rápido como el contemporáneo atleta jamaiquino Usain Bolt que es apodado “el rayo”. El gran Aquiles correr los 100 metros solo en 10 segundos. Fue desafiado a correr una carrera de 100 metros por una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan la carrera, bajo las siguientes condiciones: Aquiles dio una ventaja de 100 metros a la tortuga.

El día y a la hora acordada se inició la carreta, cuando Aquiles cubrió los 100 metros de ventaja, la tortuga se desplazó 10 metros. Al cubrir Aquiles esos 10 metros, la tortuga se había desplazado 1 metro. Mientras Aquiles cubrió ese metro que lo separa de la tortuga, ésta recorrió 0,1 metros. y así indefinidamente.

De esta forma, Aquiles cubrió infinitos trayectos para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito para dar alcance a la tortuga. De tal manera que el desafortunado Aquiles nunca alcanzó a la tortuga.

Naturalmente que esta paradoja, bajo una apariencia de razonamiento correcto, esconde algunos errores, todos sabemos que Aquiles dio alcance a la tortuga. Lo increíble es que tardó 24 siglos en desvelar por completo, esto gracias a la Teoría de Límites

¿Cuál es el error?: la suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.

Para analizar lo ocurrido, consideraré como sucesiones las distancias recorridas, la ventaja de la tortuga y los tiempos empleados:

En consecuencia: Aquiles alcanza a la tortuga a los 111,111… metros de carrera y emplea en ello 11,111… segundos (números periódicos).

Atte. Patricio Figueroa M.